新幹線の予約をするなら、指定席の空席状況(予約状況)を確認して、空いている席を購入します。
自由席であれば、予約なしで乗車券と特急券のみで乗車できますが、現在では自由席のある新幹線の号車は比較的少なくなってきています。
座席を確保するなら指定席がおすすめです。
新幹線の予約には、いくつかの方法があります。

1番オーソドックスなのは、JRの「みどりの窓口」へ行き、駅員さんに対面で切符を予約する方法です。
座席の空き状況もオンラインでジェイアールの職員が確認してくれます。

もう1つの方法が、ネット予約で新幹線の予約をする方法です。
参考サイト:新幹線 空席状況

有名なのは、JR東日本の「えきねっと」のという電車のサイトです。
JR東日本管轄の新幹線(東海道新幹線、東北新幹線、山形・秋田新幹線、北陸新幹線などの予約ができます。
JR東海やJR西日本の新幹線(山陽新幹線・九州新幹線など)の予約も出来ますが、東日本エリアの駅でないと切符受け取りができないので注意しましょう。
えきねっとは、新幹線の空席予約をリアルタイムで確認でき、まだ空席があればネット上で予約できます。
チケットは当日に自動販売機にて発行すればよいでしょう。

また、JR西日本では「エクスプレス予約」がネットで新幹線空席状況が信頼できます。

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